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Paralelismo y perpendicularidad

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La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.

También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

b.2 Instrumentos geométricos

b.2.1. La regla, la escuadra, Compás, transportador

  • La Regla: es un instrumento de medición rígido, construida de metal, madera o material plástico, que tiene una escala graduada y numerada en centímetros y milímetros y su longitud total rara vez supera el metro de longitud.
  • La Escuadra: es un instrumento de medición y trazado que tiene tres aplicaciones diferentes y por tanto tres formatos diferentes. La escuadra más común está fabricada de plástico o de madera, y forma un triángulo rectángulo isósceles con un ángulo de 90º y dos más de 45º. Pueden tener diferentes tamaños, y los de más calidad suelen ser de plástico transparente. Esta herramienta es muy usada en el dibujo técnico. Suele utilizarse con una regla o un cartabón.
  • Compás: es un instrumento usado para describir y trazar circunferencias o arcos de circunferencia. Está formado por dos patas cuya abertura puede regularse fácilmente.
  • Transportador: es un instrumento de medición con forma de semicírculo o círculo graduado en grados utilizado para medir o construir ángulos. Los más frecuentes son aquellos con un máximo de 180º, si bien existen de 360º.

b.3 Definición de rectas paralelas

Paralelismo se dice que es la representación de dos rectas de un plano son paralelas cuando no se cortan o son coincidentes. Toda recta se escribe de la siguiente forma: y = mx + n, donde m corresponde a la pendiente de la recta, n es el coeficiente de posición y x e y son las variables. Dos rectas serán paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales y poseen distintos coeficientes de posición.

b.3.1. Ejemplos[image]

Consideremos la recta [image] que pasa por [image]y [image]. En este caso [image], luego

  1. Ecuación vectorial: [image]
  2. Ecuaciones parámetricas:

[image]

 

[image]

  1. Ecuaciones simétricas:

Observe que el segmento que va de [image]a [image]es el conjunto de puntos

[image]

En particular, si [image], obtenemos el punto medio del segmento [image]

b.3.2. Propiedades del paralelismo

  • Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma: a || a
  • Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera: Si a || b [image]a || b
  • Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera: Si a || b [image]b || c [image]a || c
  • Corolario de la P. transitiva: Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
  • Corolario: Todas las rectas paralelas tienen la misma dirección

b.3.3 Postulados de Euclides

El libro de los Elementos de Euclides, escrito hacia el año 300 a.C., expone los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados como los más evidentes y sencillos:

  1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
  2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
  3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.

b.4. Definición de Rectas perpendiculares

Una recta es perpendicular cuando dos rectas se cortan (estando así en el mismo plano), originan no sólo uno, sino cuatro ángulos rectos. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.

b.4.1 Ejemplos L1: y = -2x + 3 L2: y = 0,5x – 4

Entonces L1 [image]L2 ya que -2 · 0,5 = -1

b.4.2. La perpendicularidad

Se dice que una figura es perpendicular a otra cuando al cortarla, determina en una de sus secciones (o en el plano que las contiene, según los casos) un ángulo recto.

b.5. PROPIEDADES

b.5.1 Propiedad 1

a/b = c/d <=> d/b = c/a

b.5.2. Propiedad 2

a/b = c/d <=> b/a = d/c

b.5.3. Teoría fundamental de la semejanza

Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra.

b.5.4. Ejemplos

Para alimentar 12 caballos durante 20 dias se necesitan 174 Kg. de alimento.
¿Cuantos Kg. de alimento se necesitan para mantener 15 caballos durante 40 dias?

12 caballos -> 174 Kg. -> 20 dias

15 caballos -> x Kg: -> 40 dias

Entre la primera y segunda magnitud hay proporcionalidad directa (para mas caballos se necesita mas alimento). Entre la tercera y la segunda magnitud tambien hay proporcionalidad directa (para mas dias se necesita mas alimento).

Por lo tanto se puede escribir x = (15*174*40) / (12*20) = 435

Es decir se necesitan 435 Kg. para alimentar 15 caballos durante 40 dias

b.6. Ángulos determinados por dos rectas continuos por una tercera: Determinación de una recta en el plano por un punto y un vector director, por dos puntos o por un punto y la pendiente.

b.6.1. Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas opuestas.

 

[image]

b.6.2. Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

 

[image]

b.6.3. Ángulo suplementario: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180. Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180.

[image]

b.6.4. Ángulos formados por rectas paralelas corta por una secante: En el caso de rectas paralelas cortadas por una secante, se verifica que los ángulos correspondientes son de igual medida, al igual que los ángulos alternos internos y alternos externos.

[image]

Bibliografía

  • es.wikipedia.org/wiki/Geometría
  • elies.rediris.es/elies15/cap541.html
  • www.terra.es/personal/rogero/diedrico/paral.htm
  • es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad
  • huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.5.html
  • www.chapingo.mx/Prepa/matematicas/archivos_htm/geometria_y_trigonometria.htm
  • es.wikipedia.org/wiki/Ángulos_complementarios
  • recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/v17paralelas.htm
  • es.encarta.msn.com/encyclopedia_961546384/Perpendicularidad.html
  • www.unlu.edu.ar/~algebra/pagina1-1.htm
  • es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo
  • www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=441
  • es.wikipedia.org/wiki/Ángulo
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Citar este texto en formato APA: _______. (2013). WEBSCOLAR. Paralelismo y perpendicularidad. https://www.webscolar.com/paralelismo-y-perpendicularidad. Fecha de consulta: 4 de julio de 2020.

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