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La trigonometría

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La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos, triángulos y las relaciones entre ellos (funciones trigonométricas).

Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en geografía para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Unidades angulares

Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.

Las equivalencias son las siguientes:

360° = un giro completo alrededor de una circunferencia

180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia

90° = 1/4 de vuelta

1° = 1/360 de vuelta, etc.

También se puede definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados.

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que se obtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio.

De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.

Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] × [Radio de la circunferencia]

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio, r, unitario:

L = 2. R. r = 2. R (Cuando) R = 1

Entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 × π. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia:

2 × π radianes = 360°

y por tanto:

1 radián = 360°/(2 × π) = 57,29°

a partir de esta igualdad, determinamos que: 90° = π/2 radianes 60° = π/3 radianes 45° = π/4 radianes 30° = π/6 radianes

Funciones seno y coseno

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α:

sin2(α) + cos2(α) = 1

Algunas identidades trigonométricas importantes son:

sen (90 – α) = cos α

cos (90 – α) = sen α

sen (180 – α) = sen α

cos (180 – α) = -cos α

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos²α – sen²α

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β

sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β

cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan(a) = BC / AC = sin(a) / cos(a)

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos

tan (π/2) = tan (90º) = +∞

tan (-π/2) = tan (-90º) = -∞

tan (0) = 0

tan (π/4) = tan (45º) = 1

tan (π/3) = tan (60º)= [image]

tan (π/6) = tan (30º) = [image]

En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

Notación: Definimos cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².

(M-7) La Trigonometría, ¿Para qué sirve?

[image]El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto:

Está cerca de un ancho río y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río?

La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c entre ellos (la “base”).

Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo como el que se muestra aquí (“teodolito”), contando con una placa dividida en 360 grados, marque la dirección (“azimut”) a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el árbol y luego hacia el poste B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste, lleve el teodolito al punto B y mida de la misma forma el ángulo B .

La longitud c de la base y los dos ángulos A y B son todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio más conveniente. La trigonometría (de trigon = triángulo) en un principio fue el arte de calcular la información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría le permite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos.

¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.

Para topografiar una tierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un “punto de referencia”, que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usar la trigonometría para calcular las distancias

AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más…, y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra la tierra al completo con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.

Un gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la “Gran Planimetría Trigonométrica” de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36″ de ancho, cuyas lecturas se hacían con extraordinaria precisión con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas de dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla.

En 1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto como Inspector General  y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por “computadores” en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos.

La historia dice que en 1852 el jefe de los “computadores” fue hacia el director y le dijo: “Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo”. Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), se observó la montaña desde seis estaciones diferentes, y “no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra”. Al principio se la designó como “Pico XV” por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó en memoria de Sir George Everest, su predecesor en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el “Museum of the Survey of India” en Dehra Dum.

Hoy en día la posición sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y nos devuelve nuestra posición con un error de 10-20 metros ( aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.

Ahora que conoce un poco de los usos de la trigonometría, bienvenido a avanzar por lo esencial de ella.

Trigonometría

(4º De ESO. 2º BUP)

1º Sabiendo que sen A = 4/5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante.

2º Sabiendo que cos A = -raiz(3)/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y el ángulo A, sabiendo que está en el segundo cuadrante.

3º Sabiendo que cos A = -1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y A, sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante. 4º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º.

5º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 240º.

6º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 300º.

7º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º.
[image]

8º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la calculadora. [image]

9º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.
[image]

10º Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.
[image]

11º Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30′ sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.
[image]

12º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.
[image]

13º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 135º.

14º Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?
[image]

Resolver las siguientes cuestiones:

A. Sin utilizar la calculadora, expresa en radianes 150º, 315º, 120º, 210º, 75º y 330º

B. Sin utilizar la calculadora, expresa en grados: 3pi/2, pi/6, pi/3, pi/5, 2pi/5, 5pi/2

C. Si un ángulo es el doble que otro, ¿su seno también lo es?. En cualquier caso poner un ejemplo para ilustrar la respuesta.

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Citar este texto en formato APA: _______. (2012). WEBSCOLAR. La trigonometría. https://www.webscolar.com/la-trigonometria. Fecha de consulta: 10 de abril de 2020.

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