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Geometría analítica

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TEMA 1: LA CIRCUNFERENCIA

  1. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

La Ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria con centro en el origen.

Sea P(X, Y) un punto móvil cualquiera de la circunferencia.

El centro 0(0, 0) y r el radio, escribiendo la condición geométrica tenemos.

[image]

Al sustituir en la fórmula de distancia entre dos puntos, nos queda:

[image]

Elevando al cuadrado se tiene.

[image]

que es la ecuación cartesiano de la circunferencia de centro el origen y radio r.

También se le llama primera, forma ordinaria

Ejemplos:

D. La ecuación de la circunferencia de centro el origen y radio [image]

B. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN FORMA ORDINARIA CON CENTRO EN UN PUNTO CUALQUIERA DEL PLANO.

Sea [image]un punto cualquiera de la circunferencia. Por definición y aplicando la formula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

[image]

[image] la cual elevando al cuadrado, se convierte en

[image]

Que es la ecuación cartesiano de un circunferencia de radio r y centro un punto cualquiera [image] del plano. También de le llama segunda forma ordinaria

Ejemplos

D. La ecuación [image] representa una circunferencia de radio, [image] y [image]centro.

C. ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL

Dada la segunda de la ecuación de la elipse

[image] o [image]

Si quitamos denominadores desarrollamos los cuadrados y ordenados términos obtendremos.

[image]

[image]

Las cuales pueden escribirse en la forma

[image]

En donde los coeficientes A y C son del mismo signo, pero diferentes en valor absoluto, entonces la ecuación representa una elipse de ejes parábolas o la coordenados, en su figura general.

Ejemplos:

1. [image]

TEMA 2: SECCIÓN CÓNICAS

  1. LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN

Vamos a obtener ahora la ecuación de una parábola con vértice en el origen de un sistema de coordenadas y el eje coincide con uno de los coordenados.

Primer Caso: El vértice V coincide con el origen de coordenadas, el eje de la parábola es el eje x, y el foco está situado en la parte positiva de dicho eje.

El parámetro [image].

Sea M[image] un punto cualquiera de la parábola.

Las coordenadas del foco [image]y la ecuación de la directriz [image]

[image]Por definición, se tiene

[image]

y expresando analíticamente estas distancias, resulta:

[image]

Llevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, obtenemos

[image]

[image]que es la ecuación de una parábola con vértice en el origen, su eje coincide con el de las x y el foco está en la parte positiva de este eje. Si p > 0 entonces la parábola abre hacia la derecha.

Segundo Caso: La ecuación de la parábola de vértice en el origen, el eje coincide con el eje x y el foco un punto cualquiera de la parte negativa de este eje, es

y2 = – 4px

(2),

p < O la parábola abre hacia la izquierda

[image]

Tercer caso: Si el vértice está en el origen y el eje coincide con el eje y y el foco está sobre la parte positiva de este eje.

Por la fórmula de la distancia, un punto M[image] está sobre la parábola si y sólo si

[image]

y expresando analíticamente estas distancias, resulta:

[image]

Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad y simplificando, obtenemos:

[image]

que es la ecuación de una parábola con vértice en el origen, su eje coincide con el eje y y el foco está en la parte positiva de este eje. Si p > 0, entonces la parábola abre hacia arriba.

[image]

Cuarto Caso: La última ecuación de la parábola con vértice en el origen, el eje es el eje de las y y el foco está en la parte negativa de este eje, la ecuación es

[image]

Si p < 0, entonces la parábola abre hacia abajo

Podemos resumir los casos de la parábola con vértice en el origen y directriz paralela a uno de los ejes cartesianos.

VérticePosiciónAbre haciaEcuaciónFocoDirectriz
y(0,0)HorizontalDerechay2=4px(p,0)x = -p
(0,0)HorizontalIzquierday2=-4px(-p,0)x = p
(0,0)VerticalArribax2=4py(0,p)y = -p
(0,0)VerticalAbajox2=-4py(0,-p)y = p

[image]

Las ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones cartesianas o primera forma ordinaria de la parábola.

En cualquier caso la distancia de la directriz al vértice y la distancia del vértice al foco son iguales a [image]; la longitud del lado recto es [image]. Algunos consideran que [image]es la distancia del foco a la directriz y que la distancia, entre el foco y elvértice y del vértice a la directriz es [image].

EJEMPLOS:

  1. Sea la parábola y2 = l0x. Encuentre sus elementos.

B. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (H, K) FUERA DEL ORIGEN

Parábola de vértice V(h,k), eje paralelo al de las y y concavidad hacia arriba.[image]

Como antes, el punto M[image] está sobre la parábola si y sólo si la distancia de [image] es igual a la distancia [image], esto es, si y sólo

[image]

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación desarrollando los cuadrados y reduciendo.

[image]

[image]

que es la ecuación de una parábola de vértice V(h , k), eje paralelo al de las xy y concavidad hacia arriba. O sea p > 0.

Si la concavidad la dirige hacia la parte negativa del eje de las y, su ecuación es:

[image]

Resumen de las orientaciones de la parábola.

Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha.

Si p < 0 la parábola abre hacia la izquierda.

Las cuatro formas de la ecuación de la parábola con V(h,k):

VérticePosiciónConcavidad hacia laEcuaciónFocoDirectriz
(h,k)HorizontalDerecha(y-k)2= 4p(x-h)(h + P,k)x=-p+h
(h,k)HorizontalIzquierda(y-k)2= -4p(x-h)(h – P k)x = p+h
(h, k)VerticalArriba(x-h)2= 4p(y-k)(h, kn – P)y–p + k
(h, k)VerticalAbajo(x-h)2= -4p(y-k)(h, k – P)y = p + k

Las ecuaciones se suelen designar con el nombre de: segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola.

[image]CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN V(h,k)

Primer Caso: La ecuación es de la forma

[image]

  1. Vértice : Es el punto (h, k)
  2. Parámetro: Es igual a |2p|
  3. Ecuación del eje de la parábola. El eje es la paralela al eje x, que pasa por el foco y por el vértice. La ecuación es y = k
  4. Coordenadas del foco.

El foco está sobre la paralela al eje de las x que pasa por el vértice de la parábola, luego tiene la misma ordenada que el vértice. Es decir,

y = k

Su abscisa es x = h + p.

Es decir, a la abscisa del vértice se le suma el semiparámetro. Luego, el foco es el punto F(h + p, k).

  1. [image]Ecuación de la directriz. La directriz es la perpendicular al eje que pasa por el punto de intersección. Por tanto, todos los puntos de la directriz tendrán la misma abscisa, luego su ecuación es x = h – p. Para encontrar la ecuación de la directriz se le resta a la abscisa del vértice el semiparámetro.
  2. El lado recto. La longitud del lado recto es igual a [image]

Segundo Caso: La ecuación es de la forma

[image][image]

Tercer Caso: La ecuación es de la forma

[image]

    1. Vértice. V(h,k)
    2. Parámetro | 2p |
    3. Ecuación de la recta que contiene al eje. El eje es la paralela al eje y que pasa por el foco y el vértice. Su ecuación es x = h.
    4. Foco. El foco está en el eje que es paralela al de las y, luego tiene la misma abscisa que el vértice. Para obtener la ordenada se le suma el semiparámetro a la ordenada del vértice.

[image]

5. Ecuaciónde la directriz. La directriz por ser perpendicular al eje es paralela al eje de las x y todos sus puntos tendrán ordenada constante que se obtiene restando a la ordenada del vértice el semiparámetro.

[image]

[image]

6. Lado recto. La longitud del lado recto es [image]

Cuarto Caso: De un modo análogo al tercero se pueden calcular todos los elementos de la parábola de la forma.

[image]

Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 la parábola abre hacia abajo.

EJEMPLOS:

  1. Determinar la ecuación de la parábola de vértice (2,1) y foco (2,4).

C. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

Para obtener la ecuación de una parábola vertical u horizontal con vértice en V(h , k) , precedemos de la siguiente manera:

Si resolvemos las ecuaciones

[image]

y ordenamos todos los términos de la ecuación en el primer miembro, llegamos a la forma general de la ecuación de la parábola.Así,

[image] [image]

Las cuales se pueden expresar de forma general, es decir:

[image] [image]

[image] [image]

la ecuación anterior representa una parábola la ecuación anterior representa una parábola

cuyo eje es paralelo al eje de las x. cuyo eje es paralelo al eje de las y.

En general, una ecuación de segundo grado en las variables x y y que carezca del término en xy puede escribirse en la forma:

[image]

[image], la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (0 coincide con) el eje x. [image], la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (0 coincide con) el eje y.

EJEMPLOS:

1) x2+3y + 7x + 2 = 0

Dada la ecuación general de una parábola, de eje paralelo a uno de los coordenados, podemos pasarla a la forma ordinaria.

2. ELIPSE

A. ECUACIÓN DE UNA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

Obtendremos ahora la ecuación de una elipse horizontal con centro en el origen del sistema de coordenadas y el eje mayor es uno de los ejes de coordenadas.

[image]

Primer caso: Eje focal sobre el eje x.

Sea una elipse de centro el origen de coordenadas, focos F’ y F sobre el eje de las x, [image]y eje mayor = 2a, siendo a y c, números positivos y a > c.

Sea P (x, y) un punto cualquiera de la elipse, F ‘(-c,0) y F (c , 0) los focos.

De acuerdo con la definición de elipse: FP + PF = 2ª

Calculando FP y FP con la fórmula de distancia entre dos puntos:

[image]

Resolviendo la ecuación con radicales, nos queda

[image]

Elevando nuevamente al cuadrado, para que el radical se elimine, y reduciendo, se tiene:

[image]

Dividiendo por a2 (a2 – c2) 1 se obtiene la ecuación

[image]

Como a > c, a2 -c2 es positivo. Por la propiedad 4 se deduce que a2 -c2 =b2 , sustituyendo a2 -c2 por b , se obtiene la ecuación de la elipse en la forma ordinaria con el centro en el origen.

[image]

Segundo Caso: Eje focal sobre el eje y. Sea una elipse vertical de centro el origen de coordenadas, focos F y F sobre el eje de las y, y el eje focal coincide con el eje de las y.

Si los focos están en (0, ± c) un razonamiento similar al anterior, se obtiene la ecuación en la forma ordinaria de la elipse.

[image]

[image]OBSERVACIONES

  1. Cuando el denominador de x” es mayor que el de y, la elipse tiene su eje mayor sobre el eje de las x, y si el denominador de y es mayor que el de x , la elipse tiene su eje mayor en el eje de las y.
  2. En ambas ecuaciones intervienen las cantidades a, b y c que representan:
  • a es la distancia del centro al vértice.
  • b es la distancia del centro al extremo del eje menor.
  • c es la distancia del centro al foco.

CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

1. Sea la elipse [image] 2. Sea la elipse [image]

a. Es de la forma [image], centro el a. Es la forma [image]de sobre el

origen y sobre el eje x. eje y

b. Centro C(0 ,0) b. Centro C(0,0)

c. Longitudes de los semiejes y ejes. c. Longitudes de los semiejes y eje.

a2 =25, a = 5y2a = 2(5)=10 a2 = 169, a =13 y 2a = 2(13) = 26

b2 =9, b = 3y2b = 2(3) = 6 b2 =25, b= 5 y 2b = 2(5) =10

d. Ecuaciones de las rectas que contienen d. Ecuaciones de las rectas que

los ejes. contienen los ejes.

El eje mayor está sobre la recta y = 0 El eje mayor está sobre la recta x = 0

El eje menor está sobre la recta x = 0 El eje menor está sobre la recta y = 0

e. semidistancia tocal. e. Semidistancia focal.

[image] [image]

f. Vértices

V (a,0) = V(5,0) B(0,b) = B(0,3) V(0,a) = V(0,13), B(b,0) -B(5,0)

V’ (-a,0) = V(-5,0) B'(O,-b) = B'(0,-3) V'(0,-a) = V(0,-13) B'(-b,0) = B'(-5,0)

g. Focos. F(c,0) = F(4,0), F(-c,0) = F(-4,0) g. Focos. F(0,c) = F(0,12) y F'(0,-c) = F'(0,-12)

h. Excentricidad [image] h. excentricidad [image]

i. Lado recto [image] i. lado recto [image]

j. Las ecuaciones de las directrices si los j. Ecuaciones de las directrices Si los

focos están sobre el eje x serían focos están sobre el eje y, las ecuaciones serían

[image]

Para calcular los elementos de una elipse dada por una ecuación en que el segundo miembro no es la unidad, se divide previamente la ecuación por el segundo miembro.

Así: La ecuación 4 x +9y =36 quedaría después de dividir por 36, así:

[image]

La ecuación 4x + 5y = 20 nos quedaría después de dividir por 20, así:

[image]

En el caso de que tengamos las ecuaciones dadas en las formas ordinarias de la elipse, se debe dar la forma antes de empezar a calcular los elementos.

Sea la elipse 4x2 + 9y2 = 1

Como [image]

La ecuación puede escribirse [image]

B. ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO UN PUNTO CUALQUIERA C(h,k) Y EJES PARALELOS A LOS COORDENADOS

Ahora consideremos, la determinación de la ecuación de la elipse cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados. Veamos el teorema de traslación de los ejes coordenados que sirve para simplificar las ecuaciones.

Teorema: Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen o1 (h , k) , y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x , y) y (x’ , y’), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

x = x’ + h , y = y’ + k

Si los ejes de una elipse son paralelos a los ejes coordenados y su centro está en el punto (h , k) , su ecuación se puede obtener trasladando los ejes coordenados de manera que su origen o’ coincida con el punto (h, k).

La ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes es: [image]

Aplicando las ecuaciones de transformación de ejes, se tiene:

[image]

las cuales se sustituyen en la ecuación de la elipse quedando de la siguiente manera: Ésta es la segunda forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal (eje mayor es paralelo al eje x) cuyo centro está en (h , k), siendo (h , k) un punto cualquiera en el plano.

En forma análoga se puede determinar la ecuación de la elipse, con centro en (h , k) y eje mayor es paralelo al eje y.

La ecuación de la elipse vertical con respecto a los ejes x’, y y’ es:

[image] [image]

Ésta es-la segunda forma ordinaria de la ecuación de la elipse vertical (eje mayor es paralelo al eje y) cuyo centro es (h , k), que es un punto cualquiera del plano.

 [image]

DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA ELIPSE DADA EN SU SEGUNDA FORMA ORDINARIA

Calcular los elementos de la elipse

Primer caso:

1. Centro. C (h , k)

2. Vértices. Los vértices V y V están sobre una recta paralela al eje x, luego tienen la misma ordenada, igual a la ordenada k del centro. Para encontrar las abscisas de los vértices se suma y se resta a a la h del centro V (h + a, k), V (h – a, k)

[image]

[image]

[image]

[image]

Los vértices B’ y B están sobre una recta paralela al eje y y tienen la misma abscisa, igual a la abscisa h del centro y para encontrar las ordenadas se suma y resta b a la ordenada k del centro. B (h, k + b), B’ (h, k – b)

  1. Focos. Los focos F ‘ y F están en el eje mayor que es paralelo al eje x, luego tienen la misma ordenada, igual a la ordenada del centro y las abscisas de los focos se encuentran sumando y restando a la abscisa h del centro la cantidad c (semidistancia focal). F(h + c,k), F(h-c,k)
  1. Excentricidad [image]
  1. Lado recto [image]
  1. Ecuaciones de La directrices: [image]

EJEMPLO:

1. Dada la elipse [image] Calcular sus principales elementos.

3. LA HIPERBOLA

A. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA HIPÉRBOLA DE CENTRO EL ORIGEN Y CUYOS EJES COINCIDEN CON LOS EJES COORDENADOS

Primer Caso: El eje focal está sobre el ejex. La obtención de la ecuación cartesiana de la hipérbola se realiza en forma similar al caso de la elipse.

[image]Por definición

d2 – d1 =2a, sustituyendo valores:

[image]

Transponiendo un radical al miembro derecho,

[image]

Elevando al cuadrado, haciendo operaciones y reduciendo, queda

[image]

Elevando nuevamente al cuadrado y reduciendo, se tiene:

[image]

Dividiendo ambos miembros entre se obtiene la ecuación de la curva en forma cartesiana,

[image]

 

EJEMPLOS:

[image]

Segundo Caso: El eje focal está en el eje y con el centro en (0,0). Siguiendo el mismo razonamiento, obtenemos la ecuación de la hipérbola Eje transverso V’V = 2a. Eje conjugado B ‘B = 2b

c2 = a2 + b2

[image]

[image]

[image]

Las ecuaciones obtenidas se conocen con el nombre de primera forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen.

EJEMPLOS:

[image]

En las hipérbolas no siempre es cierto que a > b como sucede en el caso de las elipses. En efecto, puede tenerse a< b, a>b o a = b en las ecuaciones.

ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA

A diferencia de las otras cónicas, la hipérbola tiene asociadas dos rectas con las que guarda una relación importante.

[image]

B. DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA HIPÉRBOLA DADA SU ECUACIÓN

Primer caso. La ecuación es de la forma

[image]

  1. Centro C(h, k)
  2. Vértices. Los vértices V y V’ están en una recta paralela al eje x, y tienen la misma ordenada, k del centro. Para encontrar las abscisas se suma y se resta a la h del centro la cantidad a.

V (h + a, k), V (h – a, k)

  1. Focos. Los focos también tienen la misma ordenada k del centro. Las abscisas se obtienen sumando y restando a la abscisa h del centro la cantidad c.

F (h + c, k), F (h – c, k)

4. Asíntotas son las rectas que pasan por el punto (h, k) y sus pendientes son [image]. Luego, las ecuaciones

[image]

Segundo Caso. La ecuación es de la forma

[image]

  1. Centro C (h , k).
  2. Vértices. Los vértices V y V están en una recta paralela al eje de las y y tiene la misma abscisa h del centro. Las ordenadas se obtienen sumando a la ordenada k del centro al semieje focal a.

V (h , k + a) , V (h , k – a).

  1. Focos. Los focos también tienen la misma abscisa h del centro. Las ordenadas se obtienen sumando y restando a la ordenada k del centro la semidistancia focal c.

F(h,k + c),F(h,k-c)

  1. Asíntotas. Son las rectas que pasan por el punto (h , k) y sus pendientes son [image] siendo sus ecuaciones:

[image]

EJEMPLOS:

  1. La ecuación de la hipérbola de centro C(-3 , 1), eje focal paralelo al eje x y a = 6, b = 2, es

C. ECUACIÓN GENERAL DE UNA HIPÉRBOLA

Al igual que las ecuaciones generales de la circunferencia, de la elipse y la parábola, también la ecuación de la hipérbola se obtiene desarrollando las ecuaciones

[image]

Si desarrollamos, por ejemplo la ecuación [image]nos queda:

[image]

Esta última ecuación es de la forma:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

es decir, es una ecuación de segundo grado en “x” y “y” en el cual los coeficientes A y C son de signo contrario.

EJEMPLOS:

1) Dada la ecuación 9x2 – 4y2 – 54x + 8y + 113 = 0

CONCLUSIÓN

Aprendí mucho acerca de la Geometría Analítica y más acerca de la circunferencia y partes cónicas del tema asignado.

En el segundo tema de las secciones cónicas la parábola es una de las partes más amplias que significan mucho en este trabajo.

INTRODUCCIÓN

¿Qué presento?

Este trabajo nos habla acerca de la geometría analítica y la circunferencia como primer tema, como segundo tema las secciones cónicas.

¿Cómo lo presentó?

Este trabajo fue presentado en forma de secciones o partes de la geometría analítica.

¿Para qué que presenta este trabajo?

Este trabajo se presenta para aprender más acerca de la geometría y sus puntos importante de acuerdo a esta rama.

RECOMENDACIONES

Este trabajo es recomendado a los estudiantes para que aprendan más de esta asignatura. Este trabajo les sirve a los estudiantes con deficiencia en esta asignatura para aprender más de ella y conocer su contenido le sirve para poner la habilidad del conocimiento del estudiante o alumno de acuerdo a la asignatura dada.

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Citar este texto en formato APA: _______. (2013). WEBSCOLAR. Geometría analítica. https://www.webscolar.com/geometria-analitica. Fecha de consulta: 10 de abril de 2020.

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