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Las cónicas

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INTRODUCCIÓN

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 a.C (atemenæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto». Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Si cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su vértice y llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la generatriz del mismo y, llamamos β al ángulo que forma el plano con el eje del cono.

Según la relación entre estos ángulos, ambas superficies se cortarán en:

  • una circunferencia si β = 90°
  • una elipsis si α < β < 90°
  • una parábola si α = β
  • las dos ramas de una hipérbola si α > β
[image][image][image][image]
CircunferenciaElipse (h)Parábola (h)Hipérbola (h)

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Este trabajo intenta dar una breve explicación de cada una de las secciones cónicas mencionados con anterioridad.

TEMA

LAS CÓNICAS

 [image]

1. LAS CIRCUNFERENCIAS

Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.

A partir de la definición deduciremos la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y radio R. Si P(x, y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:

Elevando al cuadrado se obtiene d(P,O)= x2 +y2 =R x2 +y2 =R2 que es la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio R.

Elementos distintivos de las circunferencias

Los elementos que distinguen a las circunferencias son:

  • [image]Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.
  • Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.
  • Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
  • Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
  • Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
  • Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

2. LA PARÁBOLA[image]

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

[image]

Elementos distintivos de una parábola

  • Foco: Es el punto fijo F
.
  • Directriz: Es la recta fija D
.
  • Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro p
.
  • Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.
  • Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.
  • Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Gráfica de la parábola

Puede notarse que la gráfica es simétrica respecto del eje y porque la ecuación no cambia cuando se reemplaza x por – x . Además y = 0 sólo cuando x = 0, por lo tanto el único punto en común entre la gráfica y el eje x es el origen de coordenadas.

También puede observarse que si p > 0 (y por lo tanto a > 0), y toma valores siempre positivos y cuando p < 0 (y por lo tanto a < 0), y toma valores siempre negativos.

3. EL ELIPSE[image]

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. La elipse es una curva cerrada. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es el conjunto de puntos P del plano tal que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro.

[image]

La ecuación de una elipse cuyos focos pertenecen a uno de los ejes coordenados, digamos por ejemplo que están en el eje x, y centro en el origen de coordenadas. Así los focos serán los puntos F’(– c, 0) y F(c, 0) y para los puntos P(x, y) que pertenezcan a la gráfica de la elipse debe verificarse que d(P, F’) + d(P, F) = k = 2a

Elementos distintivos de una elipse

  • Focos: son los puntos fijos F
1

y F
2

.
  • Eje focal: es la recta que pasa por los dos focos.
  • Eje secundario: es la mediatriz del segmento formado por los dos focos.
  • Centro: es el punto de intersección del eje focal con el eje secundario.
  • Distancia focal: es la distancia entre los dos focos. La semidistancia focal es entonces la mitad y por lo tanto la distancia de cualquier foco al centro (c
).
  • Vértices: es el punto de corte de la elipse con los ejes secundario y focal.
  • Eje mayor: es el segmento que une el vértice A
con el vértice B
.
  • Eje menor: es el segmento que une el vértice C
con el vértice D
.
  • Ejes de simetría: son las rectas que contienen alguno de los dos ejes siguientes: el mayor o el menor.
  • Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse y es el punto intersección de todos los ejes de simetría.

La excentricidad de una elipse (e) es la razón entre su semidistancia focal y su semieje mayor. Este valor se encuentra entre cero y uno dado que a>c>0.

Así pues se tiene: e= ca

Donde c es la semidistancia focal y

a es la longitud del semieje mayor.

La excentricidad indica la forma de una elipse, por eso una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. Y será más achatada como más cerca esté del valor 1.

4. HIPERBOLA[image]

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante. Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, la intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola. También algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas

Elementos distintivos de una hipérbola

  • Focos: Son los dos puntos fijos F 
y F
′

.
  • Eje focal: Es el eje creado por la recta FF
′

y cuya longitud es la distancia focal.
  • Distancia focal o real: Distancia del segmento 

=2c
.
  • Eje secundario o imaginario: Eje formado por el conjunto de puntos equidistantes de F 
y F
′

. Es por lo tanto la mediatriz del segmento 




.
  • Centro: Es el punto medio del segmento 




. También es el punto donde se cruzan el eje focal y el eje secundario.
  • Ejes de simetría: Tanto el eje focal como el eje secundario son ejes de simetría.
  • Vértices: Los vértices A 
y A
′ 

son los puntos de intersección del eje focal con la hipérbola.
  • [image]Los vértices B
 y B
′

se obtienen de las intersecciones del eje secundario con el círculo de centro A
 y de radio c
.
  • Por simetría también se hallan con el círculo de centro A
′

y del mismo radio.
  • Eje mayor: Es el eje creado por el segmento 

 y de longitud 2a
.
  • Eje menor: Es el eje creado por el segmento 


y de longitud 2b
.
  • Relación entre semiejes: c
2
=a
2
+b
2

.
  • Radios vectores: Son los segmentos PF
 y PF
′

, que unen los focos con un punto de la hipérbola.
  • Asíntotas: Una hipérbola tiene dos asíntotas de ecuaciones respectivas y=b
a

x
 y y=−b
a

x
.

5. DIFERENCIAS DE CADA UNA

Las diferencias de las secciones cónicas están enumeradas en el cuadro comparativo a continuación:

CircunferenciaElipseParábolaHipérbola
Ecuación (vértice horizontal):x2 + y2 = r2x2 / a2 + y2 / b2 = 14px = y2x2 / a2 – y2 / b2 = 1
Ecuaciones de las asíntotas:y = ± (b/a)x
Ecuación (vértice vertical):x2 + y2 = r2y2 / a2 + x2 / b2 = 14py = x2y2 / a2 – x2 / b2 = 1
Ecuaciones de las asíntotas:x = ± (b/a)y
Variables:r = el radio del círculoa = el radio mayor (= 1/2 la longitud del eje mayor)

b = el radio menor (= 1/2 la longitud del eje menor)

c = la distancia desde el centre al foco

p = la distancia desde el vértice al foco (o a la directriz)a = 1/2 la longitud del eje mayor

b = 1/2 la longitud del eje menor

c = la distancia desde el centro al foco

Excentricidad:0c/ac/a
El Relación al Foco:p = 0a2 – b2 = c2p = pa2 + b2 = c2
Definición: es el conjunto de todos los puntos que cumple la condición…la distancia al origen es constantela suma del las distancias a cada foco es constantela distancia al foco = la distancia a la directrizla diferencia entre las distancias a cada foco es constante

BIBLIOGRAFÍA

Veblen, O. & Young, J. (1910) Proyective Geometry, vol I, Ginn & Co. Ed.

http://www.ditutor.com/geometria_analitica/secciones_conicas.html

http://math2.org/math/algebra/es-conics.htm

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/conic-sections-and-standard-forms-of-equations.html

http://www.sangakoo.com/es/temas/definicion-y-elementos-de-la-parabola

https://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080205130405AATAhUg

http://www.monografias.com/trabajos82/conicas-y-aplicaciones/conicas-y-aplicaciones2.shtml

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___________.WEBSCOLAR. Las cónicas. http://www.webscolar.com/las-conicas. Fecha de consulta: 1 de marzo de 2019.

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