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Congruencias de triángulo

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En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque suposición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figures congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

 

CONGRUENCIAS DE TRIANGULO

Observa los siguientes triángulos:

[image] [image]

Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triángulos tienen  entre si la misma forma y tamaño.

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo[image].

Definición: Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

[image]

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:

[image]

Al observarlos triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:

[image]

También tienen ángulos respectivamente congruentes:

[image]

Entonces es posible afirmar que [image].

Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.

Si, por ejemplo, tenemosΔ ABR [image] Δ CDS, sus la dos respectivamente congruentes serán:

[image]

Y los ángulos respectivamente congruentes serán:

[image]

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes. Estas son:

  • Congruencia de sus lados
  • Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

 

LOS CRITERIOS BÁSICOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

PRIMER CRITERIO: Postulado LAL

LAL significa lado – ángulo – lado. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

[image] [image] [image]

SEGUNDO CRITERIO: Postulado ALA

ALA significa ángulo – lado – ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

[image] [image] [image]

TERCER CRITERIO: Postulado LLA

LLA significa lado – lado – ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

[image] [image] [image]

CUARTO CRITERIO: Postulado LLL

LLL significa lado – lado – lado. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

[image] [image] [image]

 

APLICACIÓN DE LAS CONGRUENCIAS DE LOS TRIANGULOS: TEOREMAS

  1. Teorema de la Mediatriz

Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.[image]

DEMOSTRACIÓN

[image]

  1. Teorema de correspondencia

En todo triángulo isósceles la altura relativa a la base, es también una mediana y una bisectriz interior.

DEMOSTRACIÓN

[image]

D ABC isósceles de base AC y BH altura relativa a la base ACÞPDQ BH: mediana y bisectriz interior.[image]

  1. Teorema de la bisectriz

Todo punto de una bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.[image]

DEMOSTRACIÓN

[image]

  1. Teorema de los puntos medios

Toda recta trazada por el punto medio de un lado de un triángulo paralela a otro lado, intersecta al tercer lado en su punto medio.

DEMOSTRACIÓN

[image] [image]

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se denomina base media.

  1. Teorema de la base media

En todo triángulo una base media es paralela al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de dicho lado.

DEMOSTRACIÓN

A

[image] [image]

  1. Teorema de la menor mediana en el triángulo rectángulo

La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.

DEMOSTRACIÓN

[image]

CONGRUENCIAS DE DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Congruencia Cateto-Cateto

Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

[image][image]

En la figura, [image]. Así, [image]

Congruencia hipotenusa-ángulo

Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes a la hipotenusa y al ángulo agudo correspondiente de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

[image][image]

En la figura, [image]. Así, [image].

Congruencia cateto-ángulo

Si un cateto y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes a un cateto y al ángulo agudo correspondiente de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

[image][image]

En la figura, [image]. Así, [image].

Congruencia hipotenusa-cateto

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes a la hipotenusa y al cateto correspondiente de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

[image][image]

En la figura, [image]. Así, [image].

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___________.WEBSCOLAR. Congruencias de triángulo. http://www.webscolar.com/congruencias-de-triangulo. Fecha de consulta: 2 de marzo de 2019.

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