Las aporías de Zenon de Elea

Aporía: del griego aporía(“paso impracticable”, “camino sin salida”). Con el término aporía nos referimos a la situación que se crea cuando un problema carece de solución o da lugar a conclusiones absurdas.

Zenón de Elea (s. V. a. C.), discípulo de Parménides, defendió las tesis de su maestro presentando una serie de argumentos que mostraban el carácter absurdo de las tesis del movimiento y de la multiplicidad del ser. Aristóteles lo consideró el inventor de la dialéctica. Sumé todo consistió en lo que ahora llamamos la demostración indirecta o reducción al absurdo: demostración indirecta de una tesis mediante la reducción al absurdo de la tesis contraria.

El procedimiento empleado en sus aporías (“aporía” es un problema sin salida o sin solución) es la reducción al absurdo, que consiste en demostrar una tesis mediante la prueba de que su contradictoria es falsa o absurda. En este caso, la tesis que se pretende demostrar es la de la imposibilidad del movimiento.

•   1ª Aporía, de la dicotomía. Un móvil, para recorrer una distancia, ha de pasar antes por la mitad de esta distancia, y antes todavía por la mitad de esta mitad, etc., y así infinitos puntos. Pero un número infinito de puntos no puede recorrerse en un tiempo finito…igual que un bastón al que se le cercenase la mitad cada día, sería inacabable.
• 2ª Aporía, de Aquiles y la tortuga. Aquiles da una ventaja a la tortuga, y se da la salida. En el tiempo que Aquiles tarda en llegar al punto de partida de la tortuga, ésta se ha movido algo, por lenta que se mueva. Y nuevamente Aquiles empleará algún tiempo, por rápido que corra, en llegar al punto que ha alcanzado la tortuga.-Y Aquiles no adelanta nunca a la tortuga.
• 3ª Aporía, de la flecha. Si se supone que el tiempo está compuesto de  instantes, entonces en cada uno de ellos la flecha ocupa un espacio determinado, y estará inmóvil en él. Así que lo que se mueve no se mueve en el lugar en que está; tampoco, menos aún, donde no está. El movimiento sería una suma de inmovilidades, lo que es absurdo.
• 4ª Aporía, del estadio. Supongamos que en un estadio dos formaciones del mismo número de atletas se mueven en relación a una tribuna que mide lo mismo que las formaciones, a igual velocidad y en sentidos contrarios. Cualquiera de las dos formaciones recorrerá la longitud de la tribuna en un tiempo t, y la longitud de la otra formación, que es la misma de la tribuna, en un tiempo t/2, lo cual significa que la velocidad es inconsistente. Para nosotros, que hemos asimilado desde Galileo la relatividad del movimiento, esta aporía no es válida; pero  para Zenón, que el movimiento sea relativo al punto que consideramos fijo, equivale  a negar que el movimiento tenga determinación alguna.

Paradoja del estadio

Cuarta, el Stadium. “Para demostrar que la mitad del tiempo puede ser igual al doble del tiempo consideraremos tres filas de cuerpos una de las cuales, (A) está en reposo, mientras que las otras dos, (B) y (C), se mueven con igual velocidad en sentidos opuestos:

Primera posición	Segunda posición

En el momento en que todas están en la misma parte del curso (B), habrá sobrepasado doble número de cuerpos en (C) que en (A) Por lo tanto el tiempo que ha empleado para pasar (A) es doble que el tiempo que ha empleado para pasar (C) Pero el tiempo que (B) y (C) han empleado para alcanzar la posición (A) es el mismo. Por tanto el doble del tiempo es igual a la mitad del tiempo” (traducción de Burnet) Es útil imaginar (A) como una valla de estacas.

El corredor en el estadio nunca alcanzará su meta: antes de alcanzar el extremo del estadio debe alcanzar su  mitad , y antes aún, la mitad de la mitad, y así hasta el infinito, aunque encada tiempo la distancia sea cada vez más pequeña.

Aunque Zenón no presenta la siguiente paradoja, cabría argumentar del mismo modo en contra de la imposibilidad del tiempo (algo que parece ya rematadamente absurdo): por desgracia, el lector nunca acabará de leer el libro que tiene en sus manos: pongamos que le quedan diez horas de lectura; para que ésta concluya, antes debe transcurrir la mitad de ese tiempo (cinco horas), pero antes la mitad de esta mitad (dos horas y treinta minutos), y antes aún la mitad de la mitad de la mitad (una hora y cuarto), y así hasta el infinito.

Paradoja de Dicotomía

caso especialmente intuitivo es el de la progresión 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32… Parece claro que si primero cogemos la mitad de la unidad, y luego la mitad de lo que queda, y luego la mitad de lo que queda, y así “hasta el infinito”, acabaremos cogiendo la unidad completa:

Efectivamente: aplicando la fórmula anterior para la suma, se tiene:

El caso planteado por Zenón es esencialmente el mismo: supongamos que la distancia a recorrer es L. Entonces los intervalos a recorrer por el atleta serán L/2, L/4, L/8…, cantidades que resultan ser los términos de una progresión geométrica de razón 1/2 cuya suma es:

Es decir, que no hay problema en subdividir el espacio infinitamente.

¿Y el tiempo?

Si la velocidad del atleta es v (que consideramos constante por comodidad), el tiempo que tardará en recorrer el primer intervalo será L/2v, y el segundo L/4v, y así sucesivamente. Zenón en este punto dice que el corredor nunca podrá llegar a la meta porque recorrer los infinitos intervalos le llevaría un tiempo infinito. Pero se equivoca: si sumamos todos los tiempos, tenemos:

que es una cantidad de Un tiempo finita.

Argumento de Aquiles y la tortuga

A:  Aquiles T: Tortuga

t₀, t₁  ,t₂ , t₃, : tiempo 0 o salida, tiempo 1, tiempo 2, tiempo 3,…

El más rápido de los hombres, Aquiles, no podrá alcanzar nunca al más lento de los animales, la tortuga, si en una carrera se da a ésta una ventaja inicial: supongamos que Aquiles le da a la tortuga una ventaja de 100 metros. Para facilitar la comprensión pongamos que Aquiles sólo corre diez veces más rápido que la tortuga; en el t0 Aquiles está en la salida y la tortuga a 100 metros; en el t1 (pongamos que 15 segundos) Aquiles recorre 100metros y la tortuga 10; en el t2 (que es 1/10 de t1 = 1,5 segundos) Aquiles llega al punto en el que antes estaba la tortuga y ésta recorre 1 metro; en elt3 (que es 1/10 de t2 = 0,15 segundos) Aquiles recorre este metro pero la tortuga recorre un decímetro; y así sucesivamente.

La estrategia del argumento consiste en considerar los tiempos cada vez más pequeños, precisamente en la proporción en que Aquiles le aventaja a la Tortuga en velocidad (1/10), de este modo, aunque en tiempos y en distancias cada vez más pequeñas (una décima parte en cada tiempo considerado) Aquiles nunca alcanzará a la Tortuga, y así la tortuga irá llevando la ventaja hasta espacios infinitamente pequeños. Recorrer un número infinito de puntos parece suponer, por tanto, recorrer un tiempo infinito.

Aquiles no podrá alcanzar jamás a la tortuga aún cuando, evidentemente, se vaya aproximando infinitamente a ella.

Con estos argumentos, Zenón combate la doctrina de la escuela pitagórica que afirmaba que los números gobiernan el mundo, que todo guarda una relación basada en números.

Se puede probar matemáticamente de “falsedad” del argumento de Aquiles. Veamos un razonamiento tomado de la página del profesor Bert Wachsmuth de la Universidad de Seton Hall en USA.

Citar este texto en formato APA: _______. (2012). WEBSCOLAR. Las aporías de Zenon de Elea. https://www.webscolar.com/las-aporias-de-zenon-de-elea. Fecha de consulta: 3 de January de 2024.