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Los números primos

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1. ¿Qué son números primos?

Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. El término primo deriva del latín “primus” que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los “primeros”, porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros.

2. ¿Cómo averiguar si un número es primo?

El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5… , n-1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto.

Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15’0665… basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.

Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen factores pequeños. Sin embargo si el número tiene por ejemplo unas 20 cifras y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones para comprobarlo.

3. ¿Cuántos números primos hay?

Una de las primeras preguntas que podemos hacernos es si la cantidad de números primos es finita o infinita. Euclides de Alejandría demostró que hay infinitos. Supongamos que existe solamente un número finito de primos. Sea C = {p1, p2, … pn} el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora el número M = p1×p2×… pn+1. Como cada primo pi es mayor que 1, M es un número mayor que cualquiera de los pi; es decir, M no está en el conjunto C y por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como producto de factores primos (por el teorema fundamental de la aritmética). Por hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos que aparecen en el conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q | M y obviamente, q | p1×p2×… pn. Por consiguiente, q divide a la diferencia M – p1×p2×… ×pn(que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q es un número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el conjunto de los números primos no puede ser finito.

4. La sucesión de los números primos

La sucesión de los números primos es poco predecible. No sabemos si obedecerán algún tipo de regla u orden que no hemos sido capaces de descubrir todavía. Durante siglos, las mentes más preclaras intentaron poner fin a esta situación pero sin éxito. Pero el espíritu del hombre es obstinado y su inquietud por descubrir no conoce fronteras. Así, con el paso de los años y los siglos se ha ido avanzando a pequeños pasos, pero tantos, que al mirar atrás parecen gigantescos.

Otra posibilidad es contar cuántos primos acaban en una determinada cifra o cuántos son de una determinada forma como 4k+1 ó 4k+3. Por ejemplo, los números primos de la forma 4k+1 son 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97… y los de la forma 4k+3 son 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83… Para abreviar los llamaremos primos de tipo 1 y de tipo 3 respectivamente. Observamos que de los 24 primos enumerados, 11 son del tipo 1 y 13 del tipo 3.

El intento de “controlar” los números primos llevo a muchos a la búsqueda de algún tipo de fórmula o expresión algebraica que generase la sucesión de los números primos. Goldbach demuestra en 1752 que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que dé números primos para cualquier valor entero. Años después Legendre demuestra que no existe ninguna función algebraica racional que cumpla tal requisito. Queda por decir que todavía se puede buscar un polinomio de forma que produzca una sucesión de números primos lo más larga posible. Euler propuso el polinomio n2 + n + 41 que da números primos para valores 0 ≤ n < 40 (también para 40 < n < 81 excepto n = 41, 44, 49, 56, 65 y 76 [sucesión cuadrática]).

5. El teorema del número primo

π(n) ≈ n/log n ≈ Li(x)

La función que nos dice cuántos números primos hay en el intervalo [0, n] se representa por π(n) =  # { p ≤  n , p primo}. Legendre y Gauss dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular números primos y contar los que había en grandes intervalos. El teorema del número primo nos da una aproximación asintótica al valor de π(n) y se expresa de la siguiente forma:

[image]

Fue demostrado en primer lugar por Hadamard y de la ValléePoussin en 1896 basándose en algunas propiedades de la función Zeta de Riemann.

Una mejor aproximación de π(x) es la función Li(x).

[image]

6. Los diez números primos más grandes

Número primoNúmero de dígitosAño descubrimientoNúmero primoNúmero de dígitosAño descubrimiento
213466917-140539462001136184665536+14020072002
26972593-120989601999126606265536+13999312002
23021377-190952619985.21320487+13975072002
22976221-18959321997105747665536+13948072002
21398269-1420921199685767865536+13888472002

7. ¿Cómo se distribuyen los números primos?

Se utiliza p (x) para representar el número de primos menor que o igual a x. Para hacer más difícil la descomposición en factores primos del número n, se eligen p y de tal forma que cumplan las siguientes condiciones:

  1. El mcd de p – 1 y q – 1 pequeño.
  2. La descomposición en factores primos de p – 1 y q – 1 debe tener algún factor primo grande p’ y q’.
  3. La descomposición en factores primos de p’ – 1 y q’ – 1 deben tener factores primos grandes.
  4. La descomposición en factores primos de p’ + 1 y q’ + 1 deben tener factores primos grandes.

Los números primos p y q que cumplen estas cuatro condiciones se llaman números primos fuertes. La clave privada sería otro número m (es conveniente que este número sea primo también) (de centenas de dígitos) que cumple la siguiente condición: mcd (m,(p-1).(q-1)) = 1 (el máximo común divisor de m y el producto (p-1)(q-1) es 1).

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___________.WEBSCOLAR. Los números primos. http://www.webscolar.com/los-numeros-primos. Fecha de consulta: 10 de marzo de 2018.

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