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Geometría Descriptiva: sus métodos, cambios de planos, rotación y truncamiento de pirámides

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INTRODUCCIÓN

La Geometría Descriptiva busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie en dos dimensiones. Nos proporciona los principios con el que podamos resolver y graficar planos, puntos, volúmenes en doble proyección ortogonal o perpendicular.

Los trazos realizados en el plano bidimensional se formalizan en el espacio tridimensional para la proyección de nuevos espacios de actividad humana. El matemático francés Gaspar Monge  (1746-1818) organizó y desarrollo la ciencia de la geometría descriptiva a finales del siglo XVII.

Veremos que para localizar un punto sobre una recta, se le ubica por medio de las proyecciones ortogonales del punto, que deberá estar sobre la recta en sus tres vistas principales.

Si un plano se sitúa perpendicular a dos planos de proyección, estará paralelo al tercero, por tanto se verá en su verdadero tamaño o su verdadera forma en ese plano mientras en los otros se verá como una línea recta en los otros.

Cuando un plano se sitúa perpendicular a un solo plano de proyección se verá como una línea recta en él, mientras en los otros dos se verá deformado.

Si el plano no es perpendicular ni paralelo a ningún plano de proyección se verá deformado en todas las vistas, o sea no se verá como una línea recta, ni en su verdadero tamaño en ninguna de las vistas.

Esta posición oblicua del objeto resulta de girarlo e inclinarlo con respecto a los P. Esto se nota claramente en los planos horizontal (giro) y de perfil (inclinación), lo que nos permite la representación tridimensional buscada, obtenida en la vista frontal.

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PROYECCIÓN ORTOGONAL DE RECTAS

La recta, representada por al menos dos de sus puntos, se presenta en proyecciones ortogonales en tres situaciones específicas que dependen de la posición de la recta respecto a los planos de proyección.

Debe decirse que la recta tiene una dimensión, ya que solo puede medirse en un sentido por tanto tiene una determinada longitud únicamente.

Cuando la recta se sitúa paralela al plano de proyección, se verá en su verdadera longitud o magnitud en el plano al cual se proyecta paralela.

Si la recta está situada perpendicular al plano de proyección se verá como si fuera un punto, o sea vista de punta en el plano al cual se proyecta perpendicular.

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Si la recta no se encuentra paralela ni perpendicular a ningún plano de proyección, no aparecerá en su verdadera longitud, ni vista de punta, se dice que aparece deformada o escorzada.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE PLANOS

En proyecciones ortogonales existen cinco formas de representar un plano:

  1. Por tres puntos no lineales.
  2. Por una recta y un punto situado fuera de ella.
  3. Por dos rectas que se intersecan.
  4. Por dos rectas paralelas entre sí.
  5. Por cualquier figura geométrica plana.

Cuando un plano se sitúa perpendicularmente a un solo plano de proyección se verá como una línea recta o sea visto de canto o de filo en él, mientras que en los otros mientras que en los otros dos se verá deformado o escorzado.

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Cuando un plano se sitúa perpendicular a dos planos de proyección, estará paralelo al tercero, por tanto se verá en su verdadero tamaño o forma en ese plano, mientras se ve como una línea recta o visto de filo en los otros.

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Si el plano no es perpendicular ni paralelo a ningún plano de proyección se verá simplemente deformado o escorzado en todas las vistas o sea no se verá de filo ni en verdadero tamaño en ninguna de las vistas.

  1. MÉTODOS DESCRIPTIVOS

En geometría descriptiva se han desarrollado métodos de representación tridimensional

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CAMBIO DE PLANOS

El plano en lugar geométrico originado por una línea en movimiento y tiene una extensión indefinida a menos que se indique otra cosa. El plano se denomina con letras griegas:(δ, Ø, Ω, σ, β,…).

Los Planos pueden ser:

  1. Limitados (polígonos, círculos, otros)
  2. Infinitos(carece de contornos definidos y se extiende hacia el infinito)

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REPRESENTACIÓN DE UN PLANO

Un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos(puntos, rectas o sus trazas).

La forma más expresiva de representar un plano es a través de sus trazas. Las trazas del plano son rectas del plano que se originan por las intersecciones del plano en el espacio con los planos de proyección, determinando la posición del mismo.

La traza vertical es la recta del plano contenida en el plano vertical (recta frontal).

La traza horizontal es la recta del plano contenida en el plano horizontal (recta horizontal.[image]image017

TIPOS DE PLANOS

Al igual que la recta, el plano recibe un nombre de acuerdo con la posición que tenga respecto a los planos de proyección. Es conveniente conocer sus trazas.

El Plano Oblicuo tiene una posición accidental respecto a los planos de proyección.

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El plano paralelo a la línea de tierra tiene sus líneas paralelas entre sí.

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El Plano Horizontal es paralelo al plano de proyección horizontal.

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El Plano Frontal es paralelo al plano de proyección vertical.

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El Plano de Canto o proyectante vertical es perpendicular al plano vertical.

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El Plano vertical o proyectante horizontal es perpendicular al plano horizontal.

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El plano de perfil es paralelo al plano de perfil.

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Los planos primer bisector y segundo bisector sus trazas se encuentran en la línea de tierra.

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Todo plano tiene infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es importante saber cómo representar un punto o una recta cualquiera contenida en él. Para que un punto P pase por un plano, es condición necesaria que sea de una recta que pertenezca al plano. Y toda recta para que pertenezca a un plano debe pasar por dos puntos de ese plano.

RECTAS CARACTERÍSTICAS

Se le llama rectas características de un plano a todas las rectas horizontales y frontales de esta.

Recta de Máxima Pendiente, es perpendicular a la traza horizontal al igual que todas las rectas horizontales del plano. Determina el ángulo que forma dicho plano con el plano horizontal.

Para obtener el ángulo en verdadera amplitud se determina por el método de triángulo de rebatimiento sobre el plano horizontal.

La Recta de Máxima inclinación, es perpendicular a la traza vertical al igual que todas las rectas frontales del plano.

Determina el ángulo que forma dicho plano con el plano vertical.

Para determinar el ángulo en verdadera amplitud se determina por el método del triángulo de rebatimiento sobre el plano vertical.

Recta Horizontal

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Rectal Frontal

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ÁNGULOS DEL PLANO

α = ángulo que forma el plano con el plano horizontal

Β = ángulo que forma el plano con el plano vertical

Cuando el plano es perpendicular a los planos horizontal y vertical α + β = 180˚

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Cuando el plano es oblicuo a los planos vertical y horizontal α + β = 90˚

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En otros casos los ángulos se determinan con rectas de máxima pendiente de inclinación 180˚ > α + β > 90˚.

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3.- ROTACIÓN Y ABATIMIENTO

Sea dado el plano del cuadro, π, el punto de vista, V, y un plano horizontal г que no pasa por V y que denominaremos plano geometral; sean dadas en г tres rectas a, b y d, las dos primeras paralelas.

Tracemos por V un plano de fuga paralelo,Ø, al г. Para construir la imagen perspectiva de las rectas a, b y d, se trazan por V sus rayos de fuga, se determinan sus puntos de fuga image045 y image046 y se como se indica en el esquema axonométrico unen éstos con las trazas de dichas rectas

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Se abaten los dos planos г y Ø, haciéndolos girar en el mismo sentido alrededor de sus trazas hasta que coincidan con el plano del cuadro.

Entonces aparece la configuración dada por las tres rectas de г en su verdadera forma en el plano del cuadro, π, propiedad que comparten el punto V y los rayos de fuga.

Al proceder así los ángulos de las rectas respecto a sy los de los rayos de fuga respecto de h permanecen invariables, por lo que las rectas image049image050, después del abatimiento, siguen paralelas  image051 image052 a resultado de esa operación sobre el rayo de fuga.

El abatimiento de una recta de г y de su rayo de fuga siguen paralelos.

En la siguiente figura aparece la disposición en el plano del cuadro, π, después de abatir г y Ø.

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Por debajo de s aparecen las rectas dadas con su aspecto original. Por encima de la línea de horizonte, h, se encuentra a una distancia δ de ella.

Para determinar la imagen perspectiva de d, se traza por el rayo de fuga paralelo a (o sea el abatimiento de d), con lo que se determina el punto de fuga , que unido con la traza D de d da la recta imagen o perspectiva buscada.

En muchos casos de aplicaciones, en que debe hallarse la perspectiva, se conoce la proyección horizontal.

Consideremos que г el plano geometral, determinemos su traza, s, con el del cuadro π, y abatámoslo alrededor de s sobre el plano del cuadro. Al hacerlo ha de tenerse en cuenta que en la primera figura de este tema vemos el plano del cuadro π, desde la izquierda y desde arriba del geometral г. Si el abatimiento se efectúa en el mismo sentido que el indicado en la primera figura, después de esa operación quedará debajo de s todo lo del plano geometral г, que está a la derecha, o sea, detrás del plano del cuadro.

Si se ha dibujado todo esto en proyección horizontal diédrica, después de esa operación, observaremos que en este abatimiento del plano geometral se tendrá invertida su simetría respecto a s.

En general al aplicar este procedimiento, no se presentan dificultades serias.

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INTERSECCIONES

TRUNCAMIENTO DE PIRÁMIDES

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SOMBRA EN PROYECCIÓN ORTOGONAL.

La Proyección Ortogonal es el método utilizado para representar objetos tridimensionales usando vistas proyectadas sobre planos de proyección con líneas de proyección paralelas entre si y perpendiculares a los planos.

La proyección ortogonal como método de representación posee las siguientes propiedades:

  1. Cada punto y cada línea dispuestos en el espacio tienen en el plano de proyección al menos una proyección
  2. Cada punto y cada línea sobre el plano de proyección puede ser la proyección de infinidad de puntos y líneas dispuestos en el espacio.
  3. Para construir la proyección de una línea recta es suficiente proyectar dos de sus puntos y trazar una línea recta que una las proyecciones de estos puntos.
  4. La línea recta se proyecta en general en forma de línea recta siempre que no sea paralela a la dirección de las líneas proyectantes ya que proyectaría un punto.
  5. Si un punto pertenece a la recta, entonces la proyección del punto pertenece a la proyección de la recta.
  6. La relación entre los segmentos de la línea recta esa igual a la de sus proyecciones.

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VISTAS PRINCIPALES

La proyección ortogonal permite dibujar seis vistas principales de un objeto dado. Estas vistas se obtienen introduciendo el objeto en un cubo imaginario transparente formado por seis planos de proyección, sobre los que se proyectan dichas vistas.

Los planos de proyección son mutuamente perpendiculares y muestran dos vistas horizontales del objeto y cuatro verticales. Estos planos son: Horizontal superior e inferior, frontal, posterior y lateral derecho e izquierdo.

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PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCIÓN

Debido a lo complejo que resulta percibir de una vez las seis vistas que los seis planos de proyección nos muestran de un objeto tridimensional, en un espacio bidimensional; prácticamente nunca se utilizan en su totalidad, por lo que convencionalmente se trabaja únicamente en tres planos de proyección llamados planes principales de proyección y son:

  1. El horizontal superior
  2. El frontal y
  3. El lateral derecho, son nombrados simplemente horizontal, frontal y perfil.

Dichos planos principales de proyección nos muestran las llamadas tres vistas principales de un objeto.

Los planos que forman el cubo imaginario, son mutuamente perpendiculares, por lo que se debe decir, que las líneas de intersección o coincidencia de los seis planos se llaman línea de Doblez o Pliegue, y toman los nombres por los planos de proyección que separan, al trabajar únicamente con tres planos principales de proyección tendremos línea de pliegue H/F, línea de pliegue H/P y línea de pliegue F/P.

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DIRECCIONES DE VISTAS ORTOGONALES

En la vida diaria utilizamos diversos términos de ubicación y orientación espacial, arriba, abajo, izquierda, derecha, adelante, atrás, que son los principales. Estos mismos términos se utilizan para encontrar las distintas proyecciones de un objeto respecto a los planos de proyección.

En proyecciones ortogonales dichos términos se conocen como direcciones en vista múltiples, cada plano principal de proyección contiene determinadas direcciones y muestra a la vez otras.

En el plano horizontal están contenidas las direcciones izquierda – derecha, adelante – atrás y muestra al objeto desde arriba.

En el plano frontal tenemos nuevamente izquierda – derecha y ahora arriba – abajo mostrando al objeto desde adelante. En el plano de perfil se repiten arriba – abajo, adelante – atrás y presenta al objeto desde su derecha.

Para lograr la visión tridimensional de los objetos en el cubo imaginario a pesar de mostrarlo en un espacio bidimensional se debe conocer las características de la llamada Proyección Axonométrica, (Axis; eje) que es una forma de proyección ortogonal en la cual, el objeto dentro del cubo se coloca con ninguna de sus caras paralelas al plano de dibujo proyectándose perpendicularmente sobre el plano de proyección, con líneas de proyección paralelas.

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EJERCICIOS

Determinar las trazas del Plano δ definido por dos rectas paralelas.
a {K(20;25;10) L(30;05;25)},
b {M(35;15;15)}.

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Esquema Espacial

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Dado un Plano a {X(10; 0; 0), H(80; 70; 0) y V(80; 0; 40)} Se pide: a) Determinar las proyecciones de los Puntos I, J, K, que pertenecen al plano mediante una recta cualquiera, horizontal y frontal, respectivamente. I(30; 10; ?), J(35; ?; 10), K(40; 15; ?); b) Hallar la recta horizontal de Cota 20, del plano y hallar la Frontal de Vuelo 25 del plano

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Esquema espacial

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BIBLIOGRAFÍA

_________. Geometría Descriptiva. Cambio de Plano. http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=m%C3%A9todo+por+cambio+de+plano&source=web&cd=2&ved=0CCsQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.slideshare.net%2FJubetharion%2Fgeometria-descriptiva-cambio-de-plano&ei=D3SDT_yCFIno9ATl2r3vBw&usg=AFQjCNEfOfqces7oEAID3QubA4_Gf2RShQ

AYRES, F. 1971. Geometría Proyectiva: Teoría y 220 problemas resueltos. Editorial McGraw-Hill Book Company, INC. USA. México. 243 pp.

HAACK, W. 1962. Geometría Descriptiva 2. Editorial Hispano Americana. 2 Edición. 157 pp.

HAACK, W. 1962. Geometría Descriptiva 3. Editorial Hispano Americana. 1 Edición. 163 pp.

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___________.WEBSCOLAR. Geometría Descriptiva: sus métodos, cambios de planos, rotación y truncamiento de pirámides. http://www.webscolar.com/geometria-descriptiva-sus-metodos-cambios-de-planos-rotacion-y-truncamiento-de-piramides. Fecha de consulta: 22 de mayo de 2019.

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