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El cuadrilátero

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Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360°.

Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos.

Elementos:

  • Vértices: Son los puntos de intersección A, B, C y D, de las rectas que forman el cuadrilátero ABCD.
  • Lados: Son los segmentos AB, BC, CD y DA limitados por dos lados y el vértice común.
  • Ángulos interiores: Son los ángulos A, B, C y D formados por dos lados y el vértice común.
  • Ángulos exteriores: Son los ángulos ß1, ß2, ß3 y ß4, formados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente.

Clasificación

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados:

  1. PARALELOGRAMO: es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos.

Propiedades:

  • Los lados opuestos son iguales.
  • Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.
  • Las diagonales se cortan en el punto medio

Se dividen en:

  • Cuadrado todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre si. Son bisectrises.
  • Rombo todos sus lados son iguales, sus ángulos interiores no son rectos, son iguales los opuestos, agudos y obtusos, sus diagonales son distintas (mayor y menor) y perpendiculares entre sí, son bisectrises, su circunferencia es inscrita.
  • Rectángulo sus lados son iguales dos a dos (los paralelos), todos sus ángulos interiores son rectos, todas sus diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre si y su circunferencia es circunscrita.
  • Romboide sus lados son iguales dos a dos (los paralelos).
  1. TRAPECIOS: se le llama a un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos que no lo son. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos.

Propiedades:

  • La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.
  • En todo el trapecio, el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales, es igual a la semidiferencia de las bases.
  • Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósceles son iguales y los ángulos opuestos son suplementarios.
  • Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

Se divide en:

  • Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
  • Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida. Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí. Las diagonales son congruentes. la suma de los ángulos opuestos es 180°.
  • Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo, la medida de sus lados da como resultado medidas diferentes. Sus cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas.
  1. TRAPEZOIDE: Un cuadrilátero sin lados paralelos recibe el nombre de trapezoide.

Propiedades: Los lados consecutivos de un trapezoide simétrico son iguales dos a dos y la diagonal que une los vértices donde concurren los lados iguales es bisectriz de los ángulos respectivos.

Se divide en:

  • Trapezoide simétrico o deltoide: tiene la forma de una cometa (volantín), con dos pares de lados iguales. Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos de los vértices.
  • Trapezoide asimétrico: Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos ni eje de simetría.

Perímetros[image]

El perímetro del cuadrilátero es la suma de la longitud de cada lado del cuadrilátero. Con el fin de realizar el cálculo, hay que medir cada lado del cuadrilátero. Si conoce la forma de la figura, se pueden realizar algunos atajos para el cálculo.

Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.

Área de los cuadriláteros

[image]

Perímetro (P) y  Área (A) del CUADRADO

[image]

P = a + b + c + d

y    como   a = b = c = d   , entonces                        P = 4 · a

A = base · altura

y   como   base  = b   y   altura = a   y  además     a = b    ,   entonces      A = a2

Perímetro (P) y Área (A) del RECTÁNGULO

[image] 

P = a + b + c + d

y    como   a = c  y    b = d     ,    entonces     P = 2 · a + 2 · b


A = base · altura

y   como   base  = b   y   altura = a    ,   entonces                                      A = a · b

Perímetro (P) y  Área (A) del PARALELOGRAMO

[image]

P = a + b + c + d

y    como   a = c  y    b = d     ,    entonces   P = 2 · a + 2 · b


A = base . altura

y   como   base  = b   y   altura = e    ,   entonces         A = b · e[image]

Perímetro (P) y  Área (A) del ROMBO

P = a + b + c + d

y    como   a = b = c = d   ,    entonces            P = 4 · a

 A  =  A(triáng. ABD)  +  A(triáng.   BDC)

A(triáng. ABD)  =  A(triáng.   BDC)

A  = 2 · A(triáng. ABD)

A(triáng. ABD) = (base · altura) : 2   =     ( f · ½ e ) : 2

A  =  2 · ( f · ½ e ) : 2 = 2 · ( f · ½ e ) : 2=  ( f · ½ e)  =  (f · e) : 2

Finalmente como f y e son las diagonales del rombo,  comúnmente llamadas diagonal menor (d) y diagonal mayor (D):  A = (d · D) : 2

Perímetro (P) y  Área (A) del TRAPECIO[image]

P = a + b + c + d

y como los lados son todos diferentes,

salvo en el trapecio isósceles

tenemos:                     P = a + b + c + d

 A = A(triáng.DAE) + A(triáng.BCF) + A(rectáng. ABFE)

donde

A(triáng.DAE) =  (base · altura) : 2 = ( m · e) : 2 =  ( m · f) : 2     (porque   e =  f)

A(triáng.BCF)  =  (base · altura) : 2 = ( q · f) : 2

A(rect.ABFE)   =    base · altura       =   p · f

entonces       A = ( m · f) : 2 + ( q · f) : 2 + p · f   =

    =  m · f   +   q · f   +  2 · p · f   =  f · (m  +   q   +  2 . p )  =  =  f · (m  +   q   +   p   +  p )

                           2                                         2                                            2

Como    m  +   q   +   p  = Base mayor del trapecio (B)

p  = base menor del trapecio (b) , tenemos queA  = ( b + B ) · f  :  2     

Perímetro (P) y  Área (A) del ROMBOIDE[image]

P = a + b + c + d

y    como   a = d   y   c = b  ,   entonces     P = 2 · a  +  2 · b

A  =  A(triáng. ABD)  +  A(triáng.   BDC)

donde      A(triáng. ABD) = (base · altura) : 2     =     ( f · g ) : 2

y             A(triáng. BDC) = (base · altura): 2     =     ( f · e ) : 2

entonces  A  =  ( f · g ) : 2  +  ( f · e ) : 2 =    ( f · g   +  f · e ) : 2   =   f  · ( g  +  e ) : 2

Finalmente, como f   y  ( g + e)   son las diagonales del romboide,

comúnmente llamadas diagonal menor (d) y diagonal mayor (D):      A = (d · D) : 2

PARALELOGRAMO

[image][image][image]

Cuadrado Rectángulo Rombo

[image]

Romboide

TRAPECIO

[image][image][image]Trapecio rectángulo Trapecio Isósceles Trapecio Escaleno

TRAPEZOIDE

[image]

[image]

VN:F [1.9.22_1171]
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___________.WEBSCOLAR. El cuadrilátero. http://www.webscolar.com/el-cuadrilatero. Fecha de consulta: 4 de marzo de 2019.

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